Wykład profesora Wacława Zawadowskiego ”Dwie kozy i samochód” na konferencji "Zaangażuj wszystkie zmysły" 1 kwietnia 2017 r. w Pruszkowie, wzbudził ogromne zainteresowanie i wyzwolił dużo pozytywnych emocji.
To pomysł na startową lekcję z rachunku prawdopodobieństwa.
Prowadzący lekcję (lub wydarzenie z jakiejś okazji) pokazuje trzy zasłonięte bramki. Mogą to być
trzy zgięte kartki papieru A4. Za jedną z nich (za którą – wie to tylko prowadzący) jest nagroda, czyli mniejsza kartka na której jest narysowany samochód (widzi to tylko prowadzący). Za dwoma pozostałymi nie ma nic, albo aby było śmieszniej, za każdą z tych pozostałych dwóch jest kartka z narysowaną kozą. Prowadzący pyta grupę (klasę lub inne zgromadzenie). Kto chce zagrać i wygrać samochód? (nagrodą za dobry wybór musi być coś przyjemnego np. cukierek, pudełko z cukierkami stoi obok). Ktoś musi się zdecydować jako pierwszy śmiałek.
Jeżeli zgłosi się śmiałek, to wychodzi przed klasę i staje przed stolikiem prowadzącego zabawę. Na stoliku już są przygotowane te trzy zgięte kartki, a za nimi w sposób niewidoczny dla śmiałka są umieszczone małe kartki. Jedna mała kartka z samochodem, dwie pozostałe zgięte kartki A4 kryją małe kartki z kozą. Śmiałek ma wybrać jedną z bramek. Chce oczywiście trafić na samochód, a nie kozę. Wybiera jedną z bramek. Prowadzący nie odsłania bramki. Robi głupią minę, trochę się wymałpia i mówi, czy na prawdę wybierasz tę bramkę? Zobacz, i tu odsłania inną bramkę za którą jest koza. Mówi patrz! Za tą bramką jest koza! Daję ci jeszcze jedną szansę. Możesz zmienić swój wybór. Zmieniasz, czy nie zmieniasz? Trochę, się wymałpia, ale akceptuje w końcu ostateczny wybór śmiałka.
Pytanie: co doradzić śmiałkowi? Zmieniać, czy nie zmieniać? Jaką śmiałek powinien przyjąć strategię?
Są możliwe różne strategie, to ważne. Np. śmiałek może spojrzeć za okno i jak widzi jakiegoś ptaszka, mówi zmieniam, a jak nie widzi mówi nie zmieniam. Prowadzimy kilka takich rozgrywek, za każdym razem z nową osobą w charakterze śmiałka. Prowadzący notuje wyniki na tablicy, zaliczając każdą rozgrywkę do jednej z dwóch rubryk na tablicy BZ i Z.
Zwykle już po dwudziestu rozgrywkach w rubryce Zmiana wyniki są np. takie: SSKSK SKSSS. Natomiast w rubryce Bez Zmiany, wyniki są np. takie: KKSKK KSKKS.
Teraz dyskusja: dlaczego tak jest?
Wytłumaczenie jest proste. Strategia nie zmieniam daje mi szansę na wygraną 1/3, gdyż trafienie na kozę jest 2/3 a na samochód 1/3 w pierwszym wyborze.
Natomiast decyzja zmieniam i trzymam się tego daje szansę 2/3, czyli dwa razy tyle. W pierwszym wyborze wybrałem kozę (2/3) a zmiana to zdarzenie przeciwne – czyli wybrałem samochód.
Gdy są już tylko dwie bramki prowadzący stawia mnie w nowej sytuacji. Są już tylko dwie bramki. Jedna koza już znikła. Za pozostałymi dwoma jest koza i samochód. To jest pokusa dla śmiałka. Ale jeżeli trzyma się swojego pierwotnego wyboru zmiany bramki ma szanse 2/3. Niezależnie od tego jakie miny robi prowadzący. To daje szanse dwa razy takie jak przy strategii nie zmieniam.
Gdy jednak śmiałek na tym etapie uległ pokusie i np. rzuca monetą i na tej zasadzie podejmuje decyzję, czy jednak nie zmienić, to też szansa wygrania samochodu się zwiększa w stosunku do nie zmieniam, jest = ½, pół na pół. Prosty rachunek: (2/3) (1/2) + (1/3)(1/2) = (1/3) + (1/6) = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 . To jest więcej niż 1/3. Też dobrze, ale trochę gorzej niż gdyby uparcie trzymał się pierwotnej decyzji. Strategia zmieniam i trzymam się tego daje dwa razy większe szanse wygranej!
Intuicyjnie wydaje się, że nie ma znaczenia, czy zawodnik pozostanie przy swoim wyborze, czy nie. Okazuje się jednak, że jest inaczej. Przy wyborze strategii pozostawania przy swoim pierwszym wyborze prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1/3. Natomiast przy strategii zmiana wynosi dwa razy tyle, 2/3, natomiast zmiana przypadkowa również zwiększa szansę do 1/2 , mamy 2 branki i wybieramy losowo jedną.
Oznacza to, że śmiałkowi opłaci się wykonać jakikolwiek ruch, zmienić, czy wylosować przypadkową bramkę, ponieważ ma wtedy większe szanse na wygraną. Gdy zmienimy szanse wzrastają dwukrotnie, a przy losowaniu półtora raza. Paradoks wynika z niedocenienia informacji, jaką przekazuje prowadzący. Informacją tą jest wskazanie bramki z kozą.
A morał jest taki: próbujcie grać, ale notujcie wyniki i patrzcie na częstości. Rachunek częstości, czyli statystyka jest w życie codziennym coraz ważniejszy.
Literatura:
Chmurska Katarzyna, Dwie Kozy i Samochód, NiM 44, 2002, str 12
Klekowski Marcin, Doświadczenie na lekcji matematyki NiM 43, 2002, str 17-18
- , Jeszcze raz o Dwóch Kozach i Samochodzie, NiM 44, 2002, str 13
Mostowski Krzysztof, Proceptualne własności prawdopodobieństwa, NiM 44, 2002, str 13-14
- , Metafora Krygowskiej, NiM 48, 2003, str 15-17
Piotr Szczodrowski, Intuicja i dedukcja, NiM 3 1992 str 26
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz